Question

一道中考数学压轴题

如图：抛物线经过A(-3,0)B(0,4)C(4,0)三点
（1）求此抛物线解析式
（2）已知AD=AB(D在AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标。若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax^2+bx+3得：
9a-3b+3=0
a-b+3=0
解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x^2+4x+3．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x^2+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴cos∠CAB=√2/2．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=√(1^2+3^2)=√10．
如答图1所示，连接O1B、O1C，
由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，
∴△BO1C为等腰直角三角形，
∴⊙O1的半径O1B=√2/2BC=√5．
（3）抛物线y=x^2+4x+3=（x+2）^2-1，
∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称．
如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，
∴D（-4，3）．
又∵点M为BD中点，B（-1，0），
∴M（-5/2，3/2），
∴BM=√{[-5/2-(-1)]^2+(3/2)^2}=3√2/2；
在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
由两点间的距离公式得：BP=√2，BC=√10，PC=2√5．
∵△BMN∽△BPC
∴BM∶BP=BN∶BC=MN∶PC
即(3√2/2)/√2=BN/√10=MN/2√5，
解得：BN=3√10/2，MN=3√5．
设N（x，y），由两点间的距离公式可得：
(x+1)^2+y^2=(3√10/2)^2
(x+5/2)^2+(y-3/2)^2=(3√5)^2，
解得：x1=7/2;y1=-3/2或x2=1/2;y2=-9/2，
∴点N的坐标为（7/2，-3/2）或（1/2，-9/2）．
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参考文献：附件

Answer 2

解：
(1)
将抛物线方程y=1/2x^2-x
2化为顶点式，得
y
=
1/2(x
-
1)^2
+
3/2
所以
此抛物线的对称轴方程为
x
=
1
顶点坐标为：(1,3/2)
(2)
联立方程：
y=kx
y=-x+4
解得
两直线交点坐标为P(4/(k+1),
4k/(k+1))
将直线方程代入抛物线方程，消去y得
1/2x^2
-
(k
1)x
+
2
=
0
由根与系数的关系韦达定理得
x1+x2
=
2(k+1)
x1*x1
=
4
(其中x1,x2为方程的两根)
分别过A、B、P点作x轴的垂线,垂足分别为A'、B'、P'。
又因三角形
△OAA',
△OPP',
△OBB'相似，
所以有
OP/OA
=
OP'/OA'
OP/OB
=
OP'/OB'
即
OP/OA
+
OP/OB
=
OP'/OA'
+
OP'/OB'
=
OP'*[(OA'+
OB')/OA'*OB']
又因
OP'
=
4/(k+1)
OA'+
OB'
=
x1
+
x2
=
2(k+1)
OA'*OB'
=
x1*x1
=
4
所以
OP/OA
+
OP/OB
=
4/(k+1)*2(k+1)/4
=
2
得证。
(3)
将x=y/k
代入抛物线方程，消去x,化简后得
y^2
-
(2k^2+2k)y
+
4k^2
=
0
由根与系数的关系韦达定理知，A、B两点的纵坐标之和为
y1+y2
=
2k^2+2k
令2k^2+2k
=
4
解得
k=
1
或
k=-2(不合题意，舍去)
而k=1时，关于y的方程为：y^2-4y+4
=
0
解得
y1=y2
=2
说明直线和抛物线交于一点，A、B点重合，不和题意。
所以，不存在K，使A、B两点的纵坐标之和为4。
注：x^2
表示x的平方。

Answer 3

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