Question

求大神给这两道高数题答案极其详解，谢谢

Answer 1

　　解：1题，∵∫(0,π/2)lnsinxdx=∫(0,π/4)lnsinxdx+∫(π/4,π/2)lnsinxdx，对后一个积分，设x=π/2-t，则有∫(π/4,π/2)lnsinxdx=∫(0，π/4)lncostdt，∴∫(0,π/2)lnsinxdx=∫(0,π/4)(lnsinx+lncosx)dx=∫(0,π/4)ln[(1/2)sin2x]dx=(-π/4)ln2+∫(0,π/4)ln(sin2x)dx。而对∫(0,π/4)ln(sin2x)dx，再设y=2x，∫(0,π/4)ln(sin2x)dx=(1/2)∫(0,π/2)lnsinydy，∴∫(0,π/2)lnsinxdx=(-π/2)ln2。
　　2题，设x=1/t、原式=I，则I=∫(0,∞)(t^α)dt/[1+t^2)(1+t^α)]。这与替换前的积分式相加，有2I=∫(0,∞)dt/[1+t^2)=artant丨(t=0,∞)=π/2，∴原式=π/4。供参考。