Question

f(x）=ax^3+cx+d是R上的奇函数，当x=1时取得极值-2.证明任意x1,x2∈（-1，1），|f(x1)-f(2）|<4恒成立

f(x）=ax^3+cx+d是R上的奇函数，当x=1时取得极值-2.证明任意x1,x2∈（-1，1），|f(x1)-f(2）|<4恒成立

Answer 1

解：因为函数f(x)=ax^3+cx+d (a不=0）是R上的奇函数
所以f(0)=0,解得 d=0，故f(x)=ax^3+cx。
f(x)的导数=3ax^2+c。
因为当x=1时 f(x)取得极值-2.所以f(1)=a+c=-2
且 f(1)的导数等于0（因为它是极值）
即 3a+c=0，由a+c=-2,3a+c=0联立解得：a=1,c=-3。
故f(x)=x^3-3x。f(x)的导数=3x^2-3。
（1）当f(x)的导数=3x^2-3>0，解得：x>1或x<-1，
当f(x)的导数=3x^2-3<0，解得：-1<x<1。
所以 （-无穷，-1），（1，+无穷）为f(x)的单调增区间。
（-1，1）为f(x)的单调减区间
当x=-1时，有极大值f(-1)=2
当x=1时 f(x)取得极小值-2.
(2) 因为(-1,1)为f(x)的单调减区间,
所以对任意x1,x2属于（-1，1），都有f(1)<f(x1),f(x2)<f(-1)，
即-2<f(x1),f(x2)<2。
所以，|f(x1)-f(2）|<4恒成立

Answer 2

奇函数d=0 在极点导数为零,函数值为-2.得a+c=-2 3a+c=0 a=1 c=-3[-1,1]函数递减值域(f(1),f(-1)) (-2,2) /f(x)/值域[0,2)则当且仅当x1,x2两端点时所求最大2+2=4