线性代数 证明题6。求大神给详解
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设x=(x1,x2,……,xn),令f(x)=xTAx=a11x1^2+(a12+a21)x1x2+……+(a1n+an1)1xn+a22x2^2+
(a23+a32)x2x3+……+(an-1,n+an,n-1)xnx_n-1+annxn^2
取x1=1,xj=0,j≠1,则f(x)=a11=0.同理取i=2,3,……,n得到a22=a33=……=ann=0
又取xi=xj=1(i≠j),其他为零,分别令i,j取遍1到n的不同值,f(x)=aij+aji=0,所以aij=-aji,i≠j
于是aij=-aij对任意1<=i,j<=n都成立,即A是反对称矩阵
反之,若A^T=-A,则f(x)=f(x)^T=(xTAx)T=xTATx=-xTAx=-f(x),于是f(x)≡0
证毕!
(a23+a32)x2x3+……+(an-1,n+an,n-1)xnx_n-1+annxn^2
取x1=1,xj=0,j≠1,则f(x)=a11=0.同理取i=2,3,……,n得到a22=a33=……=ann=0
又取xi=xj=1(i≠j),其他为零,分别令i,j取遍1到n的不同值,f(x)=aij+aji=0,所以aij=-aji,i≠j
于是aij=-aij对任意1<=i,j<=n都成立,即A是反对称矩阵
反之,若A^T=-A,则f(x)=f(x)^T=(xTAx)T=xTATx=-xTAx=-f(x),于是f(x)≡0
证毕!
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