Question

已经:三角形abc是等腰直角三角形,角1+角2=135°,求证:角1=45°

Answer 1

【9】
证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ADC=∠1+∠2=135°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴点A、B、C、D四点共圆（对角互补，四点共圆），
∴∠1=∠ACB=45°（共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等）。
【10】
证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠1=∠ACB=45°，
∴点A、B、C、D四点共圆（共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆），
∴∠2=∠BAC=90°（共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等）。
【11】
证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠2=∠BAC=90°，
∴点A、B、C、D四点共圆（共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆），
∴∠1=∠ACB=45°（共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等）。

追问

能不用四点共圆做吗？毕竟我们做的是全等三角形

追答

【9】

证明：

过点A作AE⊥AD，交CD的延长线于E。

∵∠ADC=∠1+∠2=135°，

∴∠ADE=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AD=AE，∠E=45°，

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠1=∠E=45°

【10】

证明：

过点A作AE⊥AD，交BD于E。

∵∠1=45°，

∴△AED是等腰直角三角形，

∴AE=AD，

∵∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，

即∠BAE=∠CAD，

又∵AB=AC，AE=AD，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴∠ADC=∠AEB=135°，

∴∠2=∠ADC-∠1=90°