【常微分方程】如何证明在自治系统中,无限时刻趋向的点一定是奇点?
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对自治微分方程 dy/dt=f(y) ， 由微分方程奇点概念 奇点需要满足 f(y)=0
考虑 f(y)=y ， t=0 时 y=y0 ， 奇点为 y=0
方程有解 f(y)=y0*e^t ，只要 y0 不为0， y 永远也不会到达奇点 而是无限发散下去
即 无限时刻 趋向于无穷
命题不成立
当然如果假设无限时刻 y 趋向于一个点 而不发散到无穷，那么这个点一定是奇点
因为 考虑一个微小时间增量 要求 这个微小时间增量过后 y仍然稳定在那个点 则这个点满足
dy/dt=f(y)=0
即这个点是奇点
考虑 f(y)=y ， t=0 时 y=y0 ， 奇点为 y=0
方程有解 f(y)=y0*e^t ，只要 y0 不为0， y 永远也不会到达奇点 而是无限发散下去
即 无限时刻 趋向于无穷
命题不成立
当然如果假设无限时刻 y 趋向于一个点 而不发散到无穷，那么这个点一定是奇点
因为 考虑一个微小时间增量 要求 这个微小时间增量过后 y仍然稳定在那个点 则这个点满足
dy/dt=f(y)=0
即这个点是奇点
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