Question

21题接下来怎么做？数学导数问题

Answer 1

【解析】
（Ⅰ）由已知条件得f′ (x)＝
2x2+2x+a
x+1
，x＞-1．当a≥
1
2
时，无极值点；当0＜a＜
1
2
时，令2x2+2x+a=0，利用导数性质求得f（x）有极小值点x2＝
−1+
2−a
2
，有极大值点x1＝
−1−
1−2a
2
．
（Ⅱ）ln
n2+1
n2+n
≤
1
n2
-
1
n4
等价于ln(1+
1
n2
)+
1
n4
≤ln(1+
1
n
)+
1
n2
，令x1＝
1
n2
，x2＝
1
n
，则0＜x1≤x2≤1，由（Ⅰ）得f（x1）≤f（x2），由此能证明对任意的正整数n，不等式ln
n2+1
n2+n
≤
1
n2
-
1
n4
恒成立
【解答】
(Ⅰ)∵f(x)=aln(x+1)+x2，
∴f′ (x)=2x2+2x+ax+1，x+1>0，即x>−1.
①当a⩾12时,f′(x)⩾0,f(x)在(−1,+∞)上单调增加，无极值点；
②当0<a<12时,令2x2+2x+a=0，
得两根x1=−1−1−2a−−−−−√2,x2=−1+1−2a−−−−−√2，
∴x1,x2∈(−1,+∞)，
由x∈(−1,x1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增，
x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减，
x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增。
∴f(x)有极小值点x2=−1+2−a−−−−√2,有极大值点x1=−1−1−2a−−−−−√2.
(Ⅱ)证明：lnn2+1n2+n⩽1n2−1n4等价于ln1+1n21+1n ⩽1n2−1n4，
∴ln(1+1n2)−ln(1+1n)⩽1n2−1n4，
∴ln(1+1n2)+1n4⩽ln(1+1n)+1n2，
令x1=1n2,x2=1n,则0<x1⩽x2⩽1，
由(Ⅰ)得f(x1)⩽f(x2)，
即ln(1+x1)+x21⩽ln(1+x2)+x22，
∴ln(1+1n2)+1n4⩽ln(1+1n)+1n2恒成立，
∴对任意的正整数n,不等式lnn2+1n2+n⩽1n2−1n4恒成立。

追问

a为什么要在1/2的范围？

追答

看解析

追问

我是说，1/2怎么来的，第一问的a