Question

幂零矩阵的性质

Answer 1

设M为n×n的幂零矩阵。
满足M ^q= 0的最小整数q小于或等于n。 在代数封闭域上，矩阵M是幂零的，当且仅当它的所有特征值为零。因此，M的行列式和迹数都为零，所以幂零矩阵不是可逆的。 假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵，则A B是幂零矩阵，当且仅当det(A + tB)与t无关。这是因为： 其中是A B的特征值。 M的特征多项式为λ。 每一个严格的上三角矩阵或下三角矩阵都是幂零矩阵。 每一个奇异矩阵都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。
若M为实对称矩阵，则M=0。