Question

在线等，求详解（高数线性方程组的消元法）

Answer 1

有无穷多组解，则系数矩阵A的秩<4

且增广矩阵A|b的秩与A的秩相等：

对增广矩阵初等行变换后，可以知道

r(A)=3

则r(A|b)=3

从而

(b+1)-(a-1)=0

则b=a-2

继续化简矩阵，得到

令x1=a-1，则x4=0

x3=(1+a-a²)/2

x2=1+x3=(3+a-a²)/2

令x1=0，则x4=(a-1)/4,

x3=【1+a-a²-（3-4a）(a-1)/4】/2=【7/4-3a/4】/2=(7-3a)/8

x2=1+x3+x4=(13-a)/8

因此通解是

k1(a-1, (3+a-a²)/2, (1+a-a²)/2,0)

+k2(0, (13-a)/8, (7-3a)/8, (a-1)/4)

其中k1、k2是不全为0的常数

Answer 2

4个方程，4个未知数，正常情况，只有一组解，除非这4个方程是线性相关的。
设定a，b的值，使得4个方程线性相关，存在不全为零的数c，d，e使得：
m（1）+c(2)+d(3)+e(4)=0
(a+d+e)x1+(1+c+d-e)x2+(1-c-d+e)x3+(2-c+3d+5e)x4=2+c+ad+be=0
ma+d+e=0
m+c+d-e=0
m-c-d+e=0
2m-c+3d+5e=0
2m+c+ad+be=0
6个未知数，5个方程：
第二、三式相加2m=0，m=0
d+e=0，d=-e
c+d-e=0，c=e-d=2e
-c+3d+5e=0，-2e-3e+5e=0，√
c+ad+be=0，2e-ae+be=，2-a+b=0，b=a-2
c，d，e满足c=2e，d=-e即可，可以不全为0；
a=3，b=1等等，都可以。

其实，最后一式-前式
-2x2+2x3+2x4=b-a
-x2+x3+x4=（b-a）/2
x2-x3-x4=（a-b）/2
比较第二式，（a-b）/2=1，a-b=2，两个方程就完全一样。
后面3式线性相关，只有两个独立方程。
4个未知数，3个方程，有无穷多解。
取前3个方程求解：
a，x1为参数：
x2+x3+2x4=2-ax1；
x2-x3-x4=1
x2-x3+3x4=a
最后-前式
4x4=a-1，x4=（a-1）/4
（1）+（2）
2x2+x4=3-ax1
x2=（3-ax1-x4）/2=（3-ax1-（a-1）/4）/2=（13-4ax1-a）/8
x3=x2-x4-1=（13-4ax1-a）/8-（a-1）/4-1
=（13-4ax1-a-2a+2-8）/8
=（7-4ax1-3a）/8
解如下：
b=a-2
x1=x1
x2=（13-4ax1-a）/8
x3=（7-4ax1-3a）/8
x4=（a-1）/4