Question

①在[-1,1]上f（x）存在原函数 ②存在定积分∫(-1→1) f（x）dx ③存在g'（0）

①在[-1,1]上f（x）存在原函数
②存在定积分∫(-1→1) f（x）dx
③存在g'（0）
④在[-1,1]上g（x）存在原函数

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Answer 1

设∫（0~1）f(x)dx=a
2ax+f(x)=arctanx
两边同时取（0,1）上的定积分,得
2a∫(0,1)xdx+a=∫(0,1)arctanxdx
a·x²|(0,1)+a=xarctanx|(0,1)-∫(0,1)x/(1+x²)dx
2a=π/4-1/2ln(1+x²)|（0,1）
2a=π/4-1/2ln2
a=π/8-1/4ln2
即
∫（0~1）f(x)dx=π/8-1/4ln2