Question

高等数学 11（3求具体过程）

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Answer 1

(3) R= lim<n→∞>(n+1)(2n+1)/[n(2n-1)] = 1
x = ±1 时级数收敛， 故收敛域 x ∈[-1, 1].
S(x)= ∑<n=1,∞>(-1)^(n-1)[2/(2n-1)-1/n]x^(2n+1)
= 2∑<n=1,∞>(-1)^(n-1)x^(2n+1) /(2n-1)
- ∑<n=1,∞>(-1)^(n-1)x^(2n+1)/n
= 2x^2∑<n=1,∞>(-1)^(n-1)x^(2n-1) /(2n-1)
- x∑<n=1,∞>(-1)^(n-1)x^(2n)/n
= 2x^2S1(x) - xS2(x)
[S1(x)]' = ∑<n=1,∞>(-1)^(n-1)x^(2n-2) = 1/(1+x^2), x ∈[-1, 1].
[S2(x)]' = 2∑<n=1,∞>(-1)^(n-1)x^(2n-1) = 2x/(1+x^2), x ∈[-1, 1].
S1(x) = ∫<0,x>[S1(t)]'dt + S1(0) = arctanx , x ∈[-1, 1].
S2(x) = ∫<0,x>[S2(t)]'dt + S1(0) = ln(1+x^2) , x ∈[-1, 1].
S(x) = 2x^2arctanx - xln(1+x^2) , x ∈[-1, 1].

追问

请问这两步怎么来的？

您是否能写下来拍照，这样更直观，您也不用打那么多符号那么辛苦

追答

等比级数求和得来，
[S1(x)]' = ∑(-1)^(n-1)x^(2n-2) , 首项 1， 公比 x^2,
[S2(x)]' = 2∑(-1)^(n-1)x^(2n-1) , 首项 2x， 公比 x^2,

有时拍照传递不便

追问

x的多少次方是这样算，但是前面还有(-1)的多少多少次方，直接无视吗

您理解我的意思吗

如果可以无视，是所有-1的多少多少次方都可以无视，还是有什么条件？我尝试把(-1)和x并到一个括号里，希望可以整体替换，但是好像不行

追答

我已在评注中订正， 本题公比是 -x^2,
故等比级数之和 S = a1/(1+x^2)。
你给的两组式子下式正确，上式错误，应为
∑x^(2n-2) = 1/(1-x^2)
2∑x^(2n-1) = 2x/(1-x^2)

关键在于你熟练无穷递缩等比级数的求和公式： S = a1/(1-q)