Question

一道高中数学题 高手进！！！

17．已知抛物线 ，准线l与x轴交于N点，过焦点F作直线与此抛物线交于A（x1,y1）、B（x2,y2），使AB⊥AN，M是点B在x轴上的射影．
（1）证明：4x1x2＝p2；
（2）| x1－x2|的值（用p表示）；
（3）求证：∠MAB＝∠MBA．
抛物线 y^2=2px （p>0）

要求具体步骤！！！！！！！！！

Answer 1

N（-p/2，0）、P（p/2，0）
(1)设A（2pa^2，2pa）、B（2pb^2，2pb）
kAB=(2pa-2pb)/(2pa^2-2pb^2)=1/(a+b)
直线AB:y-2pa=(x-2pa^2)/(a+b)（或AB:y-2pb=(2pb^2)/(a+b)）经过点P
故-2pa=(p/2-2pa^2)/(a+b)
即(a+b)=(4a^2-1)/4a <1>
同理有(a+b)=(4b^2-1)/4b <2>
由<1><2>得a-1/4a=b-1/4b=c
又a不等于b
故a,b是方程X^2-CX-1/4=0的两根
故ab=-1/4
故4x1x2=4(2pa^2)(2pb^2)=p^2
(2)kAN=2pa/(2pa^2+p/2)=4a/(4a^2+1)
AB垂直于AN，即kAB*kAN=-1
即1/[(a+1/4a)(a+b)]=-1 <3>
联立<1><3>解得a^2=[5^(1/2)-2]/4
又ab=-1/4
故b^2=[5^(1/2)+2]/4
故|x1-x2|=|2pa^2-2pb^2|=2p
(3)M（2pb^2，0）
AM^2-BM^2=……=0
故AM=BM

Answer 2

运用抛物线曲线方程的定义。 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。