Question

复变函数中为什么解析函数的积分仍然是解析的

最好用式子说明

Answer 1

这是不需要通过式子来证明的。否则会陷入循环论证之中。先来看下面的说法：

红方框中说明，一个函数在某个区域解析的充要条件是它在这个区域内可导。当然这是上图中的两个定义所推导出来的，具体的推导过程会涉及集合运算，而不会出现常规意义上的等式。

然后回到要证明的问题。既然题目中说到了“解析函数的积分”，那么就认定了解析函数是有原函数的【当然这一点也可以证明】。不妨原来的解析函数是f，它的一个原函数是F，那么根据原函数的定义，就有F'=f，对任意z∈某个区域D。因此根据定义，F在区域D内是可导的，所以是解析的。