Question

一道高一数学题，关于集合

设集合A=｛a|（x+a）/(x^2-2)=1,a∈R｝，且（x+a）/（x^2-2）=1有唯一实数解，试用列举法表示集合A

答案为A={-2.25,-√2,√2}
但是我不知道-√2和√2这两个解怎么求
大家给的答案尽量详细点，也让我更好巩固这部分知识...
O(∩_∩)O谢谢哈

Answer 1

你是不是把（x+a）/(x^2-2)=1直接化成一元二次方程x^2-x-（a+2）=0
然后令判别式=0求的a=-2.25的？
因为（x+a）/(x^2-2)=1不一定是一元二次方程，所以就漏解了
（x+a）/(x^2-2)=（x+a）/[(x+√2）（x-√2）]
如果上下能约分就不是一元二次方程
所以a=√2时，（x+a）/(x^2-2)=1/（x-√2）=1
a=-√2时，（x+a）/(x^2-2)=1/（x+√2）=1
一元一次方程自然也只有一解

Answer 2

设集合A=｛a|(x+a)/(x²-2)=1,a∈R｝，且(x+a)/(x²-2)=1有唯一实数解，试用列举法表示集合A
(x²-x-a-2)/(x²-2)=0

x²-x-a-2=0
1.△=0:
1+4(a+2)=0
a=-2.25
2.△>0,x1=√2
1+4(a+2)>0→a>-2.25
x1=√2→2-√2-a-2=0→a=-√2
3.△>0,x1=-√2
1+4(a+2)>0→a>-2.25
x1=-√2→2+√2-a-2=0→a=√2

A={-2.25,-√2,√2}

Answer 3

若分子分母可以约分
这样就不能形成二次方程
此时分母是一次，化成一元一次方程，符合只有一个解
(x+a)/(x+√2)(x-√2)=1
要约分则x+a=x±√2
所以a=±√2

Answer 4

问题：分式方程(x+a)/(x^2-2)=1有唯一的实数解，求实数a.分类讨论。（1）当分式(x+a)/(x^2-2)不可约分时，因x^2-2=(x+√2)(x-√2)，故a≠±√2.此时方程可化为x^2-x-(a+2)=0.则△=1+4(a+2)=0.===>a=-9/4.===>解出x1=x2=1/2.(2)当分式(x+a)/(x^2-2）可约分时，易知必有a=±√2.原方程可化为(x+a)=(x+√2)(x-√2).当a=√2时，有（x+√2)(x-√2-1)=0.===>x1=1+√2,x2=-√2(增根，舍去）。当a=-√2时，有(x-√2)(x+√2-1)=0.===>x1=1-√2,x2=√2(增根，舍去）。综上可知，当a=-9/4.a=-√2,a=√2时，原方程有唯一实根。