Question

“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-α|≤2ε”是“数列{xn}收敛于α”的？

“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-α|≤2ε”是“数列{xn}收敛于α”的（　　）。
A．充分条件但非必要条件
B．必要条件但非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分条件又非必要条件

答案是选C，为什么？结论应该不一定推出条件吧，比如在推出的条件中就可以有条件中包含“恒有|xn-α|≤10ε”之类的情况。

Answer 1

先给出结论“对任意给定的?∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2?”是“数列{xn}收敛于a”的充分必要条件；下面给出证明过程．
充分性证明：
已知对任意给定的?∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2?，
则对任意0＜?1＜1，取?＝
1
3
?1＞0，存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn?a|≤2?＜
2
3
?1＜?1，令N1=N-1，
则满足对任意?1＞0，总存在正整数N1，当n≥N1时，恒有|xn-a|＜?1
即数列{xn}收敛于a
必要性证明：
已知数列{xn}收敛于a，等价于：对任意?1＞0，总存在正整数N1，当n≥N1时，恒有|xn-a|＜?1
显然通过放缩：就能得证对任意给定的?∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2?