Question

【悬赏50分-100分】【高等数学】求极限的一道题

题目如下：（lim下面写有x→∞）

lim x(Sqrt(9x^2+1)-3x)
x→∞

注：

1.补充说明中含有式子的图片。

2.上式中Sqrt()表示根号，例如：Sqrt(123)表示根号123。
上式子中x^2表示x的平方，例如：a^b表示a的b次方。

3.请写出详细的运算步骤，谢谢！

若能得到最佳答案，将提高悬赏至100分再采纳答案，言而有信。（实际得分为50+50+20=120分，此方法可以减少无合适答案时造成的积分浪费）

Answer 1

limx[√(9x²+1)-3x]
<x→∞>
=limx[√(9x²+1)-3x][√(9x²+1)+3x]/[√(9x²+1)+3x]
<x→∞>
=limx(9x²+1-9x²)/[√(9x²+1)+3x]
<x→∞>
=limx/[√(9x²+1)+3x]
<x→∞>
=lim1/[√(9+1/x²)+3]
<x→∞>
=1/6

无理分式的极限通常是分子有理化，然后分子分母同除以x的最高次幂

亲爱的朋友，分数无关紧要，希望对你学习有帮助

Answer 2

我省略了x→∞
原式=lim x(Sqrt(9x^2+1)-3x)(sqrt(9x^2+1)+3x)/(sqrt(9x^2+1)+3x)
=lim x(9x^2+1-9x^2)/(sqrt(9x^2+1)+3x)
=lim x*1/(sqrt(9x^2+1)+3x)
=lim 1/(sqrt(9x^2+1)/x+3x/x)
=lim 1/(sqrt(9x^2/(x^2)+1/(x^2))+3)
=1/6