Question

为什么二阶导数能判断函数凹凸性

Answer 1

二阶导数的作用是根据其正负，判断一阶导数的单调性（二阶导数大于零，那么一阶导数单调递增；二阶导数小于零，那么一阶导数单调递减），然后根据一阶导数的单调性以及一阶导数的某些值，判断其是否有零点（比如说一阶导数在x=0处的值是正的，而x>0时，一阶导数都是单调递增的，那么x>0时，一阶导数肯定没有零点），借此判断原函数的极值。二阶导数取值如果有大于零，又有小于零的部分，那么在这之间必然存在某个点，二阶导数等于零，例如当x<0时，二阶导数大于零，x>0时，二阶导数小于零，那么当x=0时，二阶导数必然等于零。也就是说这一点的一阶导数取到极值，由举例的二阶导数的正负还能判断出这个极值是极大值。之后就是借以判断一阶导数的图像特点（也就是单调性，极值，零点之类的），然后再判断原函数的图像特点，得出函数凹凸性。

Answer 2

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一次求导，得到的是图像斜率问题

给斜率求导，也就是二阶导数，是斜率的变化率

那么斜率的变化率就可以看出函数的凹凸性质了

如图，二次函数的图像，斜率和根号下x的斜率，

可以看得出来斜率的变化，也可以看出函数的凹凸

Answer 3

因为随着凹凸变化，曲线的切线斜率会出现相应的改变。
1在凹最低处或凸最高处，切线斜率为0，即一阶导数为0
2在凹图象最低处左右，一阶导数从最低处左方的>0趋于右方的<0,这一过程二阶导数>0
在凸图象最高处左右，一阶导数从最高处左方的<0趋于右方的>0,这一过程二阶导数<0
因此根据二阶导数可以判断函数的凹凸性质