Question

数列{an}中,a1=1,an*an+1=4^n,求{an}的前n项和Sn

数列{an}中,a1=1,an*an+1=4^n,求{an}的前n项和Sn

Answer 1

解：答案是：
⑴当n为奇数时，
Sn=s1+s2=(5×4^（(n-1)/2）-2)/3
⑵当n为偶数时，
Sn=s1+s2=5×（1-4^(n/2)）/3
过程如下：（为使层次更清楚“*******”仅起间隔作用）
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因为an*a(n+1)=4^n①,且a1=1，所以可知
a2=4②且a（n+1）*a(n+2)=4^（n+1）③
③/①= a(n+2)/ an=4④,所以由④式可知在数列{an}中，
每隔一项的两项成公比是4的等比数列，将数列{an}
中的所有项分作奇数项和偶数项提取出来，
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设所有的奇数项是以a1=1为首项，
公比是4的等比数列{a2m-1},
（其中m∈N*，m是数列{a2m-1}中的第m项）
前m项的和为sm=（4^m -1）/3⑤
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所有的偶数项是以a2=4为首项，
公比是4的等比数列{a2k},
（其中k∈N*，k是数列{a2k}中的第k项）
前k项的和为4×（4^k -1）/3⑥
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若n为奇数，最后一项an= a2m-1,
所以m=(n+1)/2,将m=(n+1)/2
代入⑤式中，得所有奇数项的和为
s1=（4^（(n+1)/2）-1）/3,
倒数第二项an-1= a2k
所以k=(n-1)/2,将k=(n-1)/2代入⑥式中
得所有偶数项的和为s2=（4^（(n-1)/2）-1）/3，
故当n为奇数时，
Sn=s1+s2=(5×4^（(n-1)/2）-2)/3
同理，当n为偶数时，最后一项an= a2k,k=n/2,
将k=n/2代入⑥式中,
得所有偶数项的和为s1=4×（4^(n/2)-1）/3,
倒数第二项an-1= a2m-1, 所以m=n/2,
将m=n/2代入⑤式中，
得所有奇数项的和为s2=（4^(n/2）-1）/3,
故当n为偶数时，
Sn=s1+s2=5×（1-4^(n/2)）/3

Answer 2

不是说a1=1，an*an+1=4^n吗？为什么a1*a1+1=1*1+1=2≠4^1呢？？？