Question

向量范数 单调性 多元微积分

考察以下函数关于x的单调性：

Answer 1

为了简单起见，考虑二元的情形：

f(a,b,x)=(a^x+b^x)^(1/x)=a*[1+(b/a)^x]^(1/x)。

设y=b/a，那么y∈(0,+∞)，上式化为a*(1+y^x)^(1/x)。

因为a是正的常数，对单调性不产生影响，因此可以转化为函数u(x,y)=(1+y^x)^(1/x)来考虑。因为对数函数是增函数，因此lnu(x,y)和u(x,y)有完全相同的单调性，所以只要考察函数

F(x,y)=ln(1+y^x)/x即可。

通过matlab作出函数z=F(x,y)的图象，代码如下：

>> clear

>> xx=0.1:0.2:5;yy=0.1:0.2:20;

>> [x,y]=meshgrid(xx,yy);

>> z=log(1+y.^x)./x;

>> surf(x,y,z)

转个角度：

接着转：

因此大体上关于x是递减的

追问

能不能从理论上给出二元情况下的单调性判断？谢谢！

追答

>> syms x y;F=log(1+y^x)/x;
>> A=jacobian(F)
 
A =
 
[ (y^x*log(y))/(x*(y^x + 1)) - log(y^x + 1)/x^2, y^(x - 1)/(y^x + 1)]

即

因此

F关于y是增函数这一点是没有疑问的。下面考察F关于x的单调性，令

那么

所以F关于x是严格的减函数

追问

大神，可以麻烦您把多元的一般情况写一下吗？是在太感谢您了！

追答

归纳一下就发现规律了，例如三元的：

多元的情形：

因为分母恒为正数，这时候只要考虑分子就行：

所以F关于x递减，从而f关于x递减