Question

什么是测地线

Answer 1

测地线就是在一个三维物体的表面上找出两个点的最短距离。测地线的具体应用挺广的，比如说飞机船只的航道设计。

首先我们知道在二维平面上两点之间线段最短，但若是换到三维这就没办法实现了，因为你无法穿透这个物体以寻求最短距离。所以，我们就得想办法在曲面上面寻求最短距离。因为曲面略微抽象而且路径很多让人感觉无从下手，所以看似很难找。

其实不然，想象一张纸（假设它的厚度是忽略不计的），你既可以平铺让它处于绝对二维状态，又可以将其折叠成不同形状使其处于三维状态。如果这样想，事情就变简单了。假设你的那张不计厚度的纸处于平面二维状态，纸上有两个位置不同的点，你可以很容易找到两点之间最短距离。然后，你再将纸折叠成不同形状，尽管此时面不同了，但是两点的最短距离依然还是原先那条线：因为面不管被如何折面积都是不变的。

所以要找到测地线的关键就是把曲面转化成平面的这一步。微积分里面的术语叫parametrization（参数化），先不做过多讲解。当把曲面参数化成二维面之后，我们可以通过微积分求导。因为你要得到的是条直线，所以把未知方程的导数再列一个方程。令此方程为零，此时你可以求得几个不同变量的值。最后你得把二维重新转回三维，这步也略微复杂，不做过多解释。把求得的空间方程输入mathematica等数学软件，这样神奇的测地线就找到了。

Answer 2