Question

求不定积分I=∫x*ln(1+x^2)*arctanxdx

Answer 1

syms x

int(atan(x)/x^2)

ans =-1/x*atan(x)-1/2*log(x^2+1)+log(x)

或

∫1/(1+x^2)*arctanxdx

=∫arctanx[dx/(1+x^2)]

=∫arctanxd(arctanx)

=(arctanx)²/2+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

如图改写后用分部积分法化简，第二个分部积分比较简单，你自己写出中间过程吧。

Answer 3

有点复杂