Question

幂法求矩阵特征值的幂法

Answer 1

幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量。
基本思想是:
若我们求某个n阶方阵A的特征值和特征向量，先任取一个初始n维向量x(0)，构造如下序列：
x(0),x(1)=Ax(0),x(2)=Ax(1),…, x(k)=Ax(k-1) ,… ⑴
当k增大时,序列的收敛情况与绝对值最大的特征值有密切关系，分析这一序列的极限,即可求出按模最大的特征值和特征向量。
假定矩阵A有n个线性无关的特征向量。n个特征值按模由大到小排列：
│λ1│> =│λ2│> =…> =│λn│ ⑵
其相应的特征向量为：
V1 ,V2 , …,Vn ⑶
它们构成n维空间的一组基。任取的初始向量X(0)由它们的线性组合给出
x(0)=a1V1+a2V2+…+anVn ⑷
由此知,构造的向量序列有
x(k) =Ax(k-1) = A2x(k-2) =…=Akx(0) = a1λ1kV1+a2 λ2kV2+…+anλnkVn ⑸
下面按模最大特征值λ1是单根的情况讨论：
由此公式(5)可写成
X(k) = λ1k (a1V1+a2 (λ2/λ1)kV2+…+an(λn/λ1)kVn ) ⑹
若a1≠0，由于|λi/λ1 | <1 (i≥2),故k充分大时，
X(k) = λ1k (a1V1+εk)
其中εk为一可以忽略的小量，这说明X(k)与特征向量V1相差一个常数因子，即使a1=0，由于计算过程的舍入误差，必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程的进展而逐渐成为主导，其收敛情况最终也将与相同。
特征值按下属方法求得：
λ1 ≈Xj(k+1)/ Xj(k) ⑺
其中Xj(k+1)， Xj(k)分别为X(k+1)，X(k)的第j各分量。
实际计算时，为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，将向量“归一化”即用的按模最大的分量 max |Xj(k)| 1≤j≤n 去除X(k)的各个分量，得到归一化的向量Y(k),并令 X(k+1) = AY(k)
由此得到下列迭代公式 ：
Y(k) = X(k)/║ X(k)║∞
X(k+1) = AY(k) k=0,1,2,… ⑻
当k充分大时，或当║ X(k)- X(k+1)║ <ε时，
Y(k)≈V1
max |Xj(k)| ≈ λ1 ⑼
1≤j≤n