已知函数f（x）=4tanx·sin（π/2-x）·cos（x-π/3）-√3 （1）求f（x）的定义域与最小正周期
解：
(1)tanx有意义，x≠kπ+ π/2，(k∈Z)
函数定义域为{x|x≠kπ+ π/2，k∈Z}
f(x)=4tanxsin(π/2 -x)cos(x- π/3) -√3
=4tanxcosxcos(x-π/3)-√3
=4sinx[(1/2)cosx+(√3/2)sinx] -√3
=2sinxcosx+2√3sin²x-√3
=2[(1/2)sin2x-(√3/2)cos2x]
=2sin(2x- π/3)
最小正周期T=2π/2=π
(2)x∈[-π/4，π/4]，则-5π/6≤2x-π/3≤π/6
-π/2≤2x-π/3≤π/6时，f(x)单调递增
此时，-π/6≤x≤π/4
函数的单调递减区间为[-π/4，-π/6]，函数的单调递增区间为[-π/6，π/4]
函数的近代定义
是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
1、函数定义域为{x|x≠kπ+ π/2，k∈Z}：f(x)=4tanxsin(π/2 -x)cos(x- π/3) -√3=4tanxcosxcos(x-π/3)-√3=4sinx[cosxcos(π/3)+sinxsin(π/3)] -√3=4sinx[(1/2)cosx+(√3/2)sinx] -√3=2sinxcosx+2√3sin²x-√3=sin2x+√3(1-cos2x)-√3=sin2x+√3-√3cos2x-√3。
2、最小正周期T=2π/2=π：x∈[-π/4，π/4]，则-5π/6≤2x-π/3≤π/6-π/2≤2x-π/3≤π/6时，f(x)单调递增。此时，-π/6≤x≤π/4函数的单调递减区间为[-π/4，-π/6]，函数的单调递增区间为[-π/6，π/4]。
概念分析
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考。
（若图像显示过小，点击图片可放大）
(1)
tanx有意义，x≠kπ+ π/2，(k∈Z)
函数定义域为{x|x≠kπ+ π/2，k∈Z}
f(x)=4tanxsin(π/2 -x)cos(x- π/3) -√3
=4tanxcosxcos(x-π/3)-√3
=4sinx[cosxcos(π/3)+sinxsin(π/3)] -√3
=4sinx[(1/2)cosx+(√3/2)sinx] -√3
=2sinxcosx+2√3sin²x-√3
=sin2x+√3(1-cos2x)-√3
=sin2x+√3-√3cos2x-√3
=2[(1/2)sin2x-(√3/2)cos2x]
=2sin(2x- π/3)
最小正周期T=2π/2=π
(2)
x∈[-π/4，π/4]，则-5π/6≤2x-π/3≤π/6
-π/2≤2x-π/3≤π/6时，f(x)单调递增
此时，-π/6≤x≤π/4
函数的单调递减区间为[-π/4，-π/6]，函数的单调递增区间为[-π/6，π/4]
