Question

已知函数f（x）=2的x次方减去2的负x次方/2的x次方加2的负x次方（1）求函数的定义域和值域（2）证明

（2）证明f（x）是单调函数

Answer 1

令2^x=t(t>0) 则2^-x=1/t f(t)=(t- 1/t)/(t+ 1/t)=(t^2-1)/(t^2+1)
=1- 2/(t^2+1) t^2+1>1 0<2/(t^2+1)<2 所以1- 2/(t^2+1)∈(-1,1)
即定义域R 值域(-1,1)

t>0 t^2+1单调增且恒大于0 所以-2/(t^2+1)单调增 即函数单调增

Answer 2

1 f(x)=(4^x-1)/(4^x+1)
x∈R，
f(x)min=-1/1=-1,f(x)max=4^x)/4^x=1
f(x)∈[-1,1]
2 f(x)=1-2/(4^x+1)
因为4^x+1单调函数
所以f(x)是单调函数