Question

高数全微分证明题

Answer 1

证明：
根据题意：
f'x=y
对上式求关于x的积分，则：
f(x,y)=y+φ(x)，其中φ(x)是关于x的函数
同理：
f(x,y)=x²+ψ(y)，其中ψ(y)是关于y的函数
即：
y+φ(x)=x²+ψ(y)
上式在f(x,y)的领域内恒成立，只能是：
φ(x)=x²，ψ(y)=y
或者：x=y=C，C为常数
当：f(x,y)=x²+y时，f'x=2x=y，f'y=1=x²，此时f(x,y)=1±2，f'x和f'y只能是0，矛盾！
当：f(x,y)=C时，f'x=0=y，矛盾！
因此，f(x,y)不存在！