Question

圆周率为什么是无限不循环小数

Answer 1

因为“圆的周长与直径的比”只有唯一的一个比是6+2√3比3，所以圆周率是有限的。
圆周率是我国西汉的文学家刘歆最早根据已知圆面积七平方，首先推出：“圆的周长6+2√3与直径3的比”，然后再根据这个比才能计算出比值为3.1547...(也就是圆的周长与直径的比值是3分之6+2√3)。
其余的比值都不是圆的周长与直径的比值，而是正6x2ⁿ边形的周长与过中心点的对角线的比值。由于n无限，因此3.1415926......就无限。

Answer 2

π为无理数的证明方法：

假设∏是有理数，则∏=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(∏^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得：
0<f(x)sinx<(∏^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(∏)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为∏，下限为0）
=F(∏)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以∏不是有理数，又它是实数，故∏是无理数