Question

高中数学，求解求过程，谢谢

Answer 1

f'(x)=3ax²-3
a≤0时: f'(x)<0
f(x)在(-∞,+∞)上单减,且值域是R

得 此时f(x)只有一个零点；
a>0时: 设m=1/(√a),则m>0,am²=1
f'(x)=(3a)(x+m)(x-m)
x∈(-∞,-m)f'(x)>0,f(x)在其上单增,值域(-∞,f(-m))
x∈(-m,m)时,f'(x)<0,f(x)在其上单减
x∈(m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在其上单增,值域(f(m),+∞)
x=-m或x=m时,f'(x)=0
f(x)在x=-m处取极大值f(-m)=-am³+3m+1=1+2m>0
在x=m处取极小值f(m)==1-2m
得 1-2m>0,即a>4时,f(x)只有一个零点
1-2m=0,即a=4时,f(x)恰有二个零点
1-2m<0,即0<a<4时,f(x)恰有三个零点
所以 f(x)有一个零点,a的取值范围是 a≤0或a>4;
有二个零点,a的取值范围是 a=4;
有三个零点,a的取值范围是 0<a<4.