Question

高等数学 定积分计算问题

Answer 1

换元u=arcsin，可得sin²u=x/(1+x)，x=tan²u
=∫(0到π/3)udtan²u
=utan²u-∫sec²u-1du
=utan²u-tanu+u
=π-√3+π/3

Answer 2

u=√[x/(1+x)]
u²=x/(1+x)=1-1/(1+x)
2udu=dx/（1+x）²=（1-u²）²dx
dx=2u/（1-u²）²du=d（1/（1-u²））
u=0~√3/2，
=∫（0，√3/2）arcsinud（1/（1-u²））
=arcsinu/（1-u²）|（0，√3/2）-∫（0，√3/2）1/（1-u²）darcsinu
=4π/3-∫（0，√3/2）1/（1-u²）.1/√（1-u²）du
=4π/3-∫（0，√3/2）（1-u²）^（-3/2）du
设u=sint，t=0~π/3，1-u²=cos²t，du=costdt
∫（0，√3/2）（1-u²）^（-3/2）du
=∫（0，π/3）（cost）^（-3）costdt
=∫（0，π/3）sec²tdt
=tant|（0，π/3）
=√3
原式=4π/3-√3