Question

画圈处求解答？请写出详细过程~谢谢（高等数学 理工学科 ）

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Answer 1

18. 二次曲面的矩阵是 A =
[1 b 1]
[b a 1]
[1 1 1]
A 的特征值是 1，4，0，
则 1+a+1 = 1+4+0， a = 3；
|A| =
|0 b-1 0|
|b a 1|
|1 1 1|
|A| = -(b-1)^2 = 1*4*0 = 0, b = 1.
A 的特征值 1，4，0 都是独立特征值 ， 其特征向量正交。
对于特征值 1， E - A =
[ 0 -1 -1]
[-1 -2 -1]
[-1 -1 0]
行初等变换为
[1 1 0]
[0 1 1]
[0 0 0]
得特征向量 (1, -1, 1)^T, 单位化是 (1/√3, -1/√3, 1/√3)^T;
对于特征值 4， 4E - A =
[ 3 -1 -1]
[-1 1 -1]
[-1 -1 3]
行初等变换为
[1 -1 1]
[0 -2 4]
[0 2 -4]
行初等变换为
[1 0 -1]
[0 1 -2]
[0 0 0]
得特征向量 (1, 2, 1)^T, 单位化是 (1/√6, 2/√6, 1/√6)^T;
对于特征值 0， 0E - A =
[-1 -1 -1]
[-1 -3 -1]
[-1 -1 -1]
行初等变换为
[1 1 1]
[0 -2 0]
[0 0 0]
行初等变换为
[1 0 1]
[0 1 0]
[0 0 0]
得特征向量 (1, 0, -1)^T, 单位化是 (1/√2, 0, -1/√2)^T。
得正交矩阵 P =
[1/√3, 1/√6, 1/√2]
[-1/√3, 2/√6, 0]
[1/√3, 1/√6, -1/√2]