Question

求复变函数积分

Answer 1

解：1题，设f(z)=1/[(z^2)(z-1)(z+4)]，∵(z^2)(z-1)(z+4)=0，则z1=0、z2=1、z3=-4，其中z1是二阶极点、z2、z3是一阶极点。∴丨z丨=3内，f(z)有两个极点z1、z2。
故，由柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)[(z^2)f(z)]'=-{(2z+3)/[(z-1)(z+4)]^2}丨(z=0)=-3/16、Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=1/5。∴原式=πi/40。
(2)题，设f(z)=1/[(z+4)(z+3)^2]，(z+4)(z+3)^2=0，∴z1=-4、z2=-3。而，z1、z2均不在丨z丨=1内，故f(z)在丨z丨=1内没有极点，∴由柯西积分定理，原式=0。
3题，设f(z)=(e^z)/[z(z-1)(z+4)^2]，仿前第1题，可得f(z)在丨z丨=3内，有两个极点z1=0、z2=1。
故，由柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)(z-z1)f(z)=-1/16、Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=e/25。
∴原式=πi(2e/25-1/8)。
供参考。

Answer 2

求复变函数的积分

Answer 3

太难了，找大神吧