Question

设向量a=（2，-1，-2），b=（1，1，z），当两向量夹角最小时，求z是多少

设向量a=（2，-1，-2），b=（1，1，z），当两向量夹角最小时，求z是多少答案是-4，请问该怎么算

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Answer 1

两向量夹角的余弦 = 2向量的点积/[2向量的模的乘积]
当2向量的点积/[2向量的模的乘积]达到最大时,两向量夹角的余弦达到最大,夹角最小.
|a| = 3,|b|=(2+z^2)^(1/2).
a*b=2-1-2z=1-2z
f(z)=a*b/[|a||b|]=(1-2z)/[3(2+z^2)^(1/2)]
f'(z) = (1/3){-2(2+z^2)^(1/2)-(1-2z)z/(2+z^2)^(1/2)}/(2+z^2) = (1/3){-2(2+z^2) -(1-2z)z}/(2+z^2)^(3/2)
= (1/3){-4-z}/(2+z^2)^(3/2)
z < -4时,f'(z)>0,f(z)单调递增.
z > -4是,f'(z)<0,f(z)单调递减.
z = -4时,f(z)达到最大值f(-4)=(1+8)/[3(2+16)^(1/2)]=1/2^(1/2)
此时,夹角的最小值=arccos(1/2^(1/2))=PI/4.
2,
L1的方向向量=（1,1,2）
L2的方向向量=（1,3,4）
若L1,L2在同一平面上,则该平面的1个法向量T=(1,1,2)与(1,3,4)的叉积 = (-2,-2,2).
点A（-1,0,1）在L1上,在该平面上.则该平面的方程为
0 = -2(x+1)-2y+2(z-1)=-2x-2-2y+2z-2,
0 = -x-y+z-2,
点B（0,-1,2）在L2上,也应该在平面上.
0 = -0+1-2-2=-3矛盾.因此,L1,L2不在同一个平面上.
L1,L2之间的距离 = 向量AB在向量T上的投影的绝对值.
AB=(1,-1,1),
T = (-2,-2,2),|T|=2*3^(1/2)
向量AB在向量T上的投影 = AB*T/|T| = [-2+2+2]/[2*3^(1/2)]
= 1/3^(1/2)
所以,
L1,L2之间的距离 = 3^(-1/2).