好的，我分两部分来解答题主的疑惑，有点长，希望题主耐心阅读，不懂处可以提问。注意，f(x)理解为函数，而x最好理解为一个任意‘’给定‘’的点。
提问方式。（1）说f在x处的二阶导函数存在且连续，也就是说函数f"在包含x的一个开区间中有定义（即f'在包含x的一个开区间中可导），并且函数f''在x处连续。（注意，谈到连续必须在一个开区间内都有定义才行）（2）说f在x的二阶导数存在，也就是说f"在x处有定义（即f’在x处可导），但是未必在包含x的开区间中有定义。显然，（1）的条件比（2）更强，从而（1）可以直接对f'用微分中值定理而（2）必须用f'在x处可导的定义。
解答。
（1）
为方便书写，记F（x，h）=(f(x+h)-f(x))/h。对f用微分中值定理，有
F（x,h）=f'(x+th),t在（0,1）中
F(x-h,h)=(f(x)-f(x-h))/h=f'(x-sh),s在（0,1）中
从而原式=limF(x,h)-F(x-h,h)/h=limf'(x+th)-f'(x-sh)/h
由题，f'在[x-h,x+h]上可导（只要h足够小，这是可以做到的），可以对f’用微分中值定理，有
f'(x+th)-f'(x-sh)/h=f"（x+vh），v在（-1,1）中
因为f''在x处连续，
原式=limf"（x+vh）=f"（x）
（2） 符号同（1），这时我们对F（视为x的函数，h当成一个固定的常数）用微分中值定理有F(x,h)-F(x-h,h)/h=F'(x+uh)=f'(x+h-uh)-f'(x+uh)/h，u在（-1,0）中，一般与x和h均相关
原式=limF(x,h)-F(x-h,h)/h=limf'(x+（1+u）h)-f'(x+uh)/h
上面的处理方式就不行了，因为f'未必在包含x的一个闭区间上连续并且在内部可导，而仅仅知道f’在x处可导，但这就足够了。这里我们要用可导的定义，也就是涉及不等式。我们只用证明
当|h|任意小时，（f'(x+（1+u）h)-f'(x+uh））/h- f''(x)的绝对值任意小。我们进行变形和放缩
（f'(x+（1+u）h)-f'(x+uh））/h- f''(x)
=（1+u）(f'(x+（1+u）h)-f'(x))/(1+u)h-u(f'(x+uh）-f'(x))/uh-(1+u)f''(x)+uf''(x)
=(1+u)(f'(x+（1+u）h)-f'(x)/(u+1)h-f''(x))-u(f'(x+uh）-f'(x)/uh-f''(x))
注意到，由导数定义，
f'(x+（1+u）h)-f'(x)/(u+1)h-f''(x)和f'(x+uh）-f'(x)/uh-f''(x)的绝对值任意小
从而由绝对值不等式知道（注意u在(-1,0)是有界的）
(1+u)(f'(x+（1+u）h)-f'(x)/(u+1)h-f''(x))-u(f'(x+uh）-f'(x)/uh-f''(x))的绝对值任意小
故而得证。
评析：当然，（2）的解答过程，完全可以用来解答（1），不过相互对比体现出不同的理解。（1）只用微分中值定理和连续性就可以了，（2）既要用微分中值定理也要用导数的定义，涉及不等式放缩，更为复杂。此题对于弄清楚相关定义定理（导数，连续，微分中值定理）和适用范围大有好处。
那怎么理解"可导一定连续，连续不一定可导"呢，我怎么觉得有冲突？
看我下面的评论
