Question

常微分方程求解，要过程

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Answer 1

y''十4y=xcosx
齐次:
y''十4y=0
特征方程:
r²十4=0
r=±2i
通解:
y=C1cos2x十C2sin2x

追答

y''十4y=xcos2x
特解:
y=C1cos2x十C2sin2x
变常数法
y'=C1'cos2x-2C1sin2x十C2'sin2x十2C2cos2x

y''=C1''cos2x-4C1'sin2x-4C1cos2x
十C2''sin2x十4C2'cos2x-4C2sin2x

y''十4y=
（C1''-4C1十4C2'十4C1）cos2x
十（-4C1'十C2''-4C2十4C2）sin2x
=
（C1''十4C2'）cos2x
十（-4C1'十C2''）sin2x
=xcos2x
C1''十4C2'=x
-4C1'十C2''=0

积分
C1'十4C2=（1/2）x²十D1
C1'=C2''/4
C2''/4十 4C2=（1/2）x²十D1
C2''十 16C2=8x²十4D1

求特解可以不考虑常数：
C2"十16C2=2x²
设C2=ax²十bx十c
C2'=2ax十b
C2"=2a
2a十16( ax²十bx十c )=2x²
16ax²十16bx十2a十16c=2x²
a=1/8,b=0,c=-a/8=-1/64
C2=x²/8-1/64

C2'=x/4,C2"=1/4
C1'=1/16,
C1=x/16

特解：
y=(x/16)cos2x十（x²/8-1/64）sin2x

通解
y=(x/16十C1)cos2x十（x²/8-1/64十C2）sin2x,
其中 -1/64十C2可以合并为新常数。