Question

计算定积分，用换元法x＝Ψ(t),这里的换元法跟不定积分的换元法一样吗?需要x＝Ψ(t)单调吗，因

计算定积分，用换元法x＝Ψ(t),这里的换元法跟不定积分的换元法一样吗?需要x＝Ψ(t)单调吗，因因为不定积分时候需要x＝Ψ(t)在对应区间连续单调，也就是有反函数，求不定积分需要x＝Ψ(x)也在相应区间单调吗？

Answer 1

如图所示：

追答

定积分要求换元函数单调，不定积分一样也要，所以原函数有时候会出现几种结果，自变量的范围不同，显示的结果也不同。

追问

书上没说需要单调呀

追答

你看看我那个例子就知道了，不考虑单调性，换元后积分限可能相等，产生错误的结果

追问

感觉你举的这个例子有问题

追答

这个换元不但要考虑单调性，还要考虑间断点，例如1/√(x²-1)的原函数

追问

sinx＝2tan(x/2)/(1+tan(x/2)²，sinx在0～2π，有定义域，而tanx/2在π处无定义，你没分段讨论就直接带进去了

这个例子没有说服力呀

而且u＝tanx/2，x不能取π，你举的例子很矛盾呀

追答

不能取π，但可以取π-和π+

这个函数处连续且＞0，但它的原函数不是

追问

能不能举一个其他例子，如果像你说的必须单调，应该有很多例子才对

或者书上，资料上明确说明了的要单调才行

追答

百度其实也有不少资料

晚上我找找例子吧

追问

我用1/x，和x在1-4上的积分，用x＝t²换，不是单调的，只要端点一致，答案都是一样的

追答

你这个方法，换元时也需要选择一个单调函数才可以。

x是负数时的情况，选择也是单调函数。

再讨论第一个例子：

被积函数完全大于0，所以面积不可能等于0.

从途中可见，0到2π的面积，相当于4倍0到π/2的面积。

直接做法收这个：

换元法：

追问

我知道了

我在贴吧上问别人了

非数学专业的教材，一般需要单调，这样可以方便应用也方便直接从不定积分转化过来。数学专业的可以不单调