Question

几道极限的证明题

几道极限的证明题3 4 5 题 拜托了

Answer 1

3.lim(n→∞)xn=0
⇔对任意E>0,存在N,当n>N时|xn-0|<E
⇔对任意E>0,存在N,当n>N时||xn|-|0||=|xn-0|<E
⇔lim(n→∞)|xn|=0
4.lim(n→∞)xn=a
⇒对任意E>0,存在N,当n>N时|xn-a|<E
⇒对任意E>0,存在N,当n>N时||xn|-|a||≤|xn-a|<E
⇒lim(n→∞)|xn|=|a|
5.(1)必要性等同於数列极限与子列极限的关系,证明省略.
充分性:由极限的几何定义,若lim(n→∞)x2k-1=a,则对任意E>0,区间(a-E,a+E)之外最多只有{x2k-1}的有限个点(N1个),其馀点全部落在区间内.若lim(n→∞)x2k=a,则对任意E>0,区间(a-E,a+E)之外最多只有{x2k}的有限个点(N2个),其馀点全部落在区间内.
取max{N1,N2}=N,则当n>N时,区间(a-E,a+E)之外最多只有{xn}的有限个点,其馀点全部落在区间内.∴lim(n→∞)xn=a
(2)当n为奇数时,xn=0.当n为偶数时,xn=2n/(n+1)
奇数项极限为0,偶数项极限为2,∴{xn}极限不存在