Question

所组成的不同两位数和三位数，使得乘积最大或最小的

Answer 1

苏教版小学四年级数学下册，出现了用1.2.3.4.5这五个数字组成一个两位数和一个三位数，要使乘积最大应该是哪两个数？换五个数再试一试的问题②。我们知道任意五个不同的数字在不重复的情况下，组成的不同两位数有5ⅹ4=20个；在不重复使用的情况下，组成一个两位数剩下的三个数可组成3ⅹ2ⅹ1=6个三位数，要计算组成的两位数与三位数的乘积，也就是要计算20ⅹ6=120组成两位数与三位数的乘积，两位数、三位数的排列比较繁，计算量也较大，往往还会出错，有些困惑，难道真无从下手吗？答案当然是否定的。
我们知道：要使乘积最大，两个乘数的最高位应是最大数，最末数应是最小数，以上面提到的苏教版小学四年级数学下册上的题目为例，要使乘积最大
一、 两个乘数最高位应分别是“5”或“4”，最末位一定是“1”。
二、 先不看最末位“1”就变成2.3.4.5这四个数字组成两个两位数，这两个两位数高位应分别是“4”或是“5”，那么组成的两位数应为“43，52”或“42，53”。
三、 根据两个数之间越靠近乘积越大的规律③，53-42=11、52-43=9，可以知道要使乘积最大应选择“52，43”这一组。
四、 接下来我们来看最末位“1”，跟在哪个数后面，假设有任意两个正整数A和B，其中A>B,现在要增加一个数字C,添在A或B后,使新的两个数乘积最大,那么C应添在A还是B的后面呢?比较一下
⑴添在A的后面,A变成10A+C,新的数与B的乘积(10A+C)ⅹB=10AB+BC；
⑵添在B的后面,B变成10B+C，新的数与A的乘积(10B+C)ⅹA=10AB+AC;
因为A>B,所以10AB+AC>10AB+BC,要使乘积大,C应添在较小的两位数之后,由此得出 “1”应添在“43”后面构成“431”，因此“1.2.3.4.5”这5个数字构成的乘积最大的两位数和三位数应是“52”和“431”。
按照以上思路要使乘积最小：
一、 两个乘数的最高位是“1”或“2”，最末位是“5”；
二、 先不看最末位“5”，就变成“1.2.3.4”四个数字,最高位是“1”或“2”时，那么组成的两位数一定是“13、24”或“14、23”，要想使乘积最小，那么这两个两位数应相差最大，“24-13=11”、“23-14=9”应选择“24”、“13”。
三、 接下来看，最末位“5”应跟在谁的后面，由上面知道跟在较大的数后构成的数乘积较小，所以“5”应跟在“24”后面是“245”，乘积最小的数应是“13”、“245”。
由此，我们可知，任意五个数字“A、B、C、D、E”其中“E>D>C>B>A”,组成的两位数和三位数虽然很多,但求它们的乘积最大或最小的数还是有规律的,乘积最大的是“DCA”与“EB”,乘积最小的是“BDE”与“AC”。