Question

求可逆矩阵P P-1AP为Jordan矩阵

Answer 1

特征多项式：f(λ)=λ^3-5λ^2+8λ-4=(λ-2)^2(λ-1)
特征值：2，1
当λ=1时：A-λE=
2　　　1　　　-1
2　　　1　　　-1
2　　　2　　　-1
特征向量a：
1
0
2
当λ=2时：A-λE=
1　　　1　　　-1
2　　　0　　　-1
2　　　2　　　-2
特征向量b：
1
1
2
再解方程：(A-2E)x=b
增广矩阵
1　　　 1　　　 -1　　　1
2　　　 0　　　 -1　　　1
2　　　 2　　　 -2　　　2
作行初等变换（#是主元）
1#　　　1　　　 -1　　　1　　　 *主行不变
0　　　 -2　　　1　　　 -1　　　 这行－第1行×2
0　　　 0　　　 0　　　 0　　　 这行－第1行×2
————
1　　　 -1　　　0　　　 0　　　 这行＋第2行
0　　　 -2　　　1#　　　-1　　　*主行不变
0　　　 0　　　 0　　　 0　　　 这行不变
得解
x1=0
x2=0
x3=-1
得到逆矩阵P=(a,b,x)=
1　　　1　　　0
0　　　1　　　0
2　　　2　　　-1
满足：AP=PJ
J=
1　　　0　　　0
0　　　2　　　1
0　　　0　　　2
是Jordan矩阵