求二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+4y’+4y=cos2x 的通解
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微分方程y’’+4y’+4y=cos2x 的通解
(1)先求齐次的通解
特征方程
r²+4=0
得r=±2i
则齐次的通解为Y=C1 cos2x+C2 sin2x
(2)再求非齐次的特解
设y*=x(acos2x+bsin2x)
y*'=acos2x+bsin2x+x(-2asin2x+2bcos2x)
y*''=-2asin2x+2bcos2x+(-2asin2x+2bcos2x)+x(-4acos2x-4bsin2x)
=-4asin2x+4bcos2x-4x(acos2x+bsin2x)
代入原方程得
-4asin2x+4bcos2x-4x(acos2x+bsin2x)+4x(acos2x+bsin2x)=cos2x
得a=0，b=1/4
所以y*=xsin2x /4
综上，非齐次的通解
y=Y+y*=C1 cos2x+C2 sin2x+xsin2x /4
(1)先求齐次的通解
特征方程
r²+4=0
得r=±2i
则齐次的通解为Y=C1 cos2x+C2 sin2x
(2)再求非齐次的特解
设y*=x(acos2x+bsin2x)
y*'=acos2x+bsin2x+x(-2asin2x+2bcos2x)
y*''=-2asin2x+2bcos2x+(-2asin2x+2bcos2x)+x(-4acos2x-4bsin2x)
=-4asin2x+4bcos2x-4x(acos2x+bsin2x)
代入原方程得
-4asin2x+4bcos2x-4x(acos2x+bsin2x)+4x(acos2x+bsin2x)=cos2x
得a=0，b=1/4
所以y*=xsin2x /4
综上，非齐次的通解
y=Y+y*=C1 cos2x+C2 sin2x+xsin2x /4
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追问
答案是y=C1e^（-2x）+C2xe^（-2x）+1/8sin2x
追答
嗯！
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