求齐次线性方程组的基础解系及通解一般方法:
第1步: 用初等行变换将系数矩阵化为行简化梯矩阵(行最简形), 由此确定自由未知量:
非零行的首非零元所在列对应的未知量为约束未知量, 其余未知量为自由未知量.
第2步: 根据行简化梯矩阵写出同解方程组, 并将自由未知量移至等式的右边.
(此步可省）
第3步: 自由未知量分别取(1,0,…,0),(0,1,…,0),(0,0,…,1), 代入上述方程得出基础解系.
第4步: 写出方程组的通解。
扩展资料：
定理
齐次线性方程组
有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论
齐次线性方程组
仅有零解的充要条件是r(A)=n。
性质：
1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）
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2024-12-11 广告
x4=k的话
x3当然是4k/3
通常在化简到
1 0 -1 0
0 1 0 3
0 0 3 -4
再r3/3，r1+r3，得到
1 0 0 -4/3
0 1 0 3
0 0 1 -4/3
这样直接得到解系为
（4/3,-3,4/3,1)^T
扩展资料：
求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。
性质：
1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）
x4=k的话
x3当然是4k/3
通常在化简到
1 0 -1 0
0 1 0 3
0 0 3 -4之后
再r3/3，r1+r3，得到
1 0 0 -4/3
0 1 0 3
0 0 1 -4/3
这样直接得到解系为
(4/3,-3,4/3,1)^T
更简便一些
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