求齐次方程组基础解系和通解

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wanzizALDX
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2019-07-16 · 繁杂信息太多,你要学会辨别
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求齐次线性方程组的基础解系及通解一般方法:

第1步: 用初等行变换将系数矩阵化为行简化梯矩阵(行最简形), 由此确定自由未知量: 

非零行的首非零元所在列对应的未知量为约束未知量, 其余未知量为自由未知量.

第2步: 根据行简化梯矩阵写出同解方程组, 并将自由未知量移至等式的右边.
(此步可省)

第3步: 自由未知量分别取(1,0,…,0),(0,1,…,0),(0,0,…,1), 代入上述方程得出基础解系.

第4步: 写出方程组的通解。

扩展资料:

定理

齐次线性方程组

 

有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

推论

齐次线性方程组

 

仅有零解的充要条件是r(A)=n。

性质:

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n,方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地,方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。(克莱姆法则)

5438ABd
2019-07-17 · TA获得超过1万个赞
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x4=k的话

x3当然是4k/3

通常在化简到

1 0 -1 0

0 1 0 3

0 0 3 -4

再r3/3,r1+r3,得到

1 0 0 -4/3

0 1 0 3

0 0 1 -4/3

这样直接得到解系为

(4/3,-3,4/3,1)^T

扩展资料:

求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换,将其化为行阶梯形矩阵

2、若r(A)=r=n(未知量的个数),则原方程组仅有零解,即x=0,求解结束;

若r(A)=r<n(未知量的个数),则原方程组有非零解,进行以下步骤:

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵,并写出同解方程组;

4、选取合适的自由未知量,并取相应的基本向量组,代入同解方程组,得到原方程组的基础解系,进而写出通解。

性质:

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n,方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地,方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。(克莱姆法则

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一个人郭芮
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2018-05-21 · GR专注于各种数学解题
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你最后显然解错了
x4=k的话
x3当然是4k/3
通常在化简到
1 0 -1 0
0 1 0 3
0 0 3 -4之后
再r3/3,r1+r3,得到
1 0 0 -4/3
0 1 0 3
0 0 1 -4/3
这样直接得到解系为
(4/3,-3,4/3,1)^T
更简便一些
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柔和又伟大丶爱人5
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2020-05-13 · 繁杂信息太多,你要学会辨别
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你好好yougood
2024-01-22 · TA获得超过378个赞
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