Question

x+x/1+2+x/1+2+3+x/1+2+3+4+···x/1+2+3+···+2009=2009

解方程

Answer 1

x+x/(1+2)+x/(1+2+3)+x/(1+2+3+4)+···+x/(1+2+3+···+2009)=2009,
一般化，x+x/(1+2)+x/(1+2+3)+x/(1+2+3+4)+···+x/(1+2+3+···+n)=n,
1+2+3+……+n=n(1+n)/2,
2/[n(1+n)]=2[1/n-1/(n+1)],
方程变为2x[1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)]=n,
2x[1-1/(n+1)]=n,
x=(n+1)/2,
∴原题的答案是x=1005.

Answer 2

这道题我没理解错的话，先把x提出来整理为：
x*(1/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+...+2009))=2009
括号里可以利用等差数列前n项和公式的倒数拆项：
a(n)=S(n)^(-1)=2/(n(n+1))=2*(1/n-1/(n+1))
∴2x*(1-1/2+1/2-1/3+...+1/2009-1/2010)=2009
2x*2009/2010=2009
x=1005

Answer 3

裂项法：
x+x/1+2+x/1+2+3+…+x/1+2+3…+2008+2009=2009
2x/1×2+2x/2×3+……+2x/2009×2010=2009
2x(1-1/2+1/2-1/3+……+1/2009-1/2010）=2009
2x(1-1/2010)=2009
2x×2009/2010=2009

x=1005