Question

高中数学问题，这个题第二问用向量法怎么做？

Answer 1

（1）△ABC是圆O内接三角形，且AB过圆心O，故△ABC是Rt△，BC⊥AC，

又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

∴BC⊥面PAC，BC⊥AE

Rt△PAC中，PA=AC，E点是PC中点，

∴AE⊥PC，∴AE⊥面PBC，∴AE⊥PB

（2）

作CD∥AP，AF⊥PB，CG⊥PB，AF与CG夹角为二面角A-PB-C的夹角

分别以CA、CB、CD为x、y、z轴

易知各点坐标：

A(1,0,0)，B(0,√2,0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)

PB=(-1,√2,-1)

Rt△PAB三边PA=1，AB=√3，PB=2

易知PF=1/2=1/4PB=(-1/4,√2/4,-1/4)

F点坐标(3/4,√2/4,3/4)，AF=(-1/4,√2/4,3/4)

Rt△PCB三边PC=√2，CA=√2，PB=2

易知G点是PB中点，PG=1/2PB=(-1/2,√2/2,-1/2)

G点坐标(1/2,√2/2,1/2)，CG=(1/2,√2/2,1/2)

二面角A-PB-C的夹角θ的余弦

cosθ=AF·CG/[√(AF²)√(CG²)]

=(-1/4,√2/4,3/4)(1/2,√2/2,1/2)/[√((-1/4,√2/4,3/4)²)√((1/2,√2/2,1/2)²)]

=√3/3