Question

（x^2+2xy-y^2）dx+（y^2+2xy+x^2）dy=0，x=1时y=1

求该齐次方程特解？

Answer 1

(y^2+x^2)=PI/6*(x+y)

x^2+2xy-y^2+(y^2+2xy-x^2) y'(x)=0

令y=u*x,则y'(x)=u(x)+x*u'(x);带入上式化简,有

x^2+2xy-y^2+(y^2+2xy-x^2)*(u+x*u')=0

(u^2+1)*(u+1)+(u^2+2u-1)*x*u'=0

dx/x=-(u^2+2u-1)/((u^2+1)*(u+1))*du

dx/x=(1/(u+1)-2u/(u^2+1))*du

ln x=ln(u+1)-ln(u^2+1)+_C1

x=_C1*(u+1)/(u^2+1)

(y^2+x^2)=_C1(x+y)

令x=0,y=PI/6,有_C1=PI/6

即有特解(y^2+x^2)=PI/6*(x+y)

释义

形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y'，y''，……的次数都是相等的，方程中没有自由项，“线性”则表示导数之间是线性运算（简单地说就是各阶导数之间的只能加减）。

比如方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的,因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'',……的0次项，因而就要称为“非齐次线性方程”，方程yy'=1也不是，因为它首先不是线性的。

Answer 2

满意采纳谢谢

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示