Question

线性方程组的问题

Answer 1

系数矩阵行列式 |A| =
|2-λ 2 -2|
|2 5-λ -4|
|-2 -4 5-λ|
|A| = (2-λ)(5-λ)^2 +16 +16 - 4(5-λ) - 16(2-λ) - 4(5-λ)
=10 - 21λ + 12λ - λ^3 = (1-λ)(10-11λ+λ^2) = (10-λ)(1-λ)^2,
当 λ ≠ 1 且 λ ≠ 10 时，|A| ≠ 0， 方程组有唯一解。
当 λ = 10 时，(A, b) =
[-8 2 -2 1]
[ 2 -5 -4 2]
[-2 -4 -5 -11]
初等行变换为
[ 2 -5 -4 2]
[ 0 -9 -9 -9]
[ 0 -18 -18 9]
初等行变换为
[ 2 -5 -4 2]
[ 0 1 1 1]
[ 0 0 0 27]
r(A, b) = 3, r(A) = 2, 方程组无解。
当 λ = 1 时，(A, b) =
[ 1 2 -2 1]
[ 2 4 -4 2]
[-2 -4 4 -2]
初等行变换为
[ 1 2 -2 1]
[ 0 0 0 0]
[ 0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 1 < 3, 方程组有无穷多解。