求曲线r=3cosx与r=1+cosx所围图形的公共部分的面积(大一上) 10
因为本题的目标是是求面积，所以是不简单地对函数进行积分，而是根据函数确定包围的形状。极坐标下面积分的标准形式就是∫∫rdrdθ，本题中只是求面积，所以简化为(1/2)∫r²dθ，求解过程会简单很多。
解：本体利用了极坐标系方程求解。第一个是圆的极坐标方程,第二个是心脏线的极坐标方程。
第一个化为参数方程为：x=3costcost；y=3costsint
第二个化为参数方程为：x=(1+cost)cost；y=(1+cost)sint
2条曲线有2个交点,y>0的部分交点为t=π/3处
只求y>0部分的面积.s=s1+s2
=int(π/2,π/3)(3costsint*d(3cost^2))+int(π/3,0)((1+cost)sint*d((1+cost)cost))
记s1积分号里面的部分为：k1=-18cost^2*sint^2*dt=(-9/2)(1-cos2t^2)
=(-9/2)(1/2-cos4t/2),所以s1=(-9/2)int(π/2,π/3)(1/2-cos4t/2)dt
=(-9/2)(t/2-sin4t/8)|(π/2,π/3)=3π/8-9sqrt(3)/32
记s2积分号里面的部分为：k2=-(sint+sintcost)*(sint+2sintcost)dt
=-(sint^2+3sint^2cost+2sint^2cost^2)dt
第一部分：k21=(cos2t-1)/2(dt),故s21=sin2t/4-t/2|(π/3,0)
第二部分：k22=-3sint^2d(sint),故s22=-sint^3|(π/3,0)
第三部分：k23=(cos2t^2-1)/2(dt)=(cos4t/4-1/4)dt,故s23=sin4t/16-t/4|(π/3,0)
所以s2=s21+s22+s23=(π/6-sqrt(3)/8)+3sqrt(3)/8+(sqrt(3)/32+π/12)
=π/4+9sqrt(3)/32
所以所求面积ss=2s=2(s1+s2)=2(3π/8-9sqrt(3)/32+π/4+9sqrt(3)/32)=5π/4
扩展资料：
极坐标系方程的分类：
1、圆：
在极坐标系中，圆心在（r0, φ）半径为a的圆的一般方程为：
2、直线：
过极点的射线方程：
其中φ为射线的倾斜角。若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctanm。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ垂直，其方程为：
3、玫瑰线：极坐标的玫瑰线是数学曲线中非常著名的曲线，有：
如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。
4、阿基米德螺线
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：
改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。
参考资料来源：百度百科- 极坐标方程
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极坐标下面积分的标准形式就是∫∫rdrdθ，本题中只是求面积，所以简化为(1/2)∫r²dθ。
