Question

利用等价无穷小求极限

lim 根号(1+xsinx)-1
_________________
x→0 xarctanx

答案是1/2
急

Answer 1

先进行分子有理化：
[根号(1+xsinx) -1]/(xarctanx)
=[根号(1+xsinx) -1][根号(1+xsinx) +1]/[(xarctanx)[根号(1+xsinx) +1]
=(xsinx)/[(xarctanx)[根号(1+xsinx) +1]
=sinx/arctanx × 1/[根号(1+xsinx) +1]
然后利用等价无穷小，即当x趋于0时sinx和arctanx是等价无穷小
那么上面的式子化为：1/[根号(1+xsinx) +1]
那么当x趋于0时，1/[根号(1+xsinx) +1]→1/[根号1 +1]=1/2
希望采纳。新春快乐！不懂再HI我！

Answer 2

根号（1+ax）-1在x趋于0时的等价无穷小为ax/2
arctanx 、sinx在x趋于0时等价无穷小为x
原式=lim x趋于0 (xsinx/2)/xarctanx=1/2