Question

高等数学问题

高等数学问题第二题

Answer 1

（1）y''-2y'+y=xe^x-e^x
齐次：y''-2y'+y=0，特征方程：r²-2r+1=0，重根r=1，通解y=（C1x+C2）e^x
y'=C1e^x+（C1x+C2）e^x
y''=2C1e^x+（C1x+C2）e^x
代入：
2C1e^x+（C1x+C2）e^x-2[C1e^x+（C1x+C2）e^x]+（C1x+C2）e^x
=0,正确：
原方程特解变系数法：设 y=Ce^x
y'=C'e^x+Ce^x,y''=C''e^x+2C'e^x+Ce^x
C''e^x+2C'e^x+Ce^x-2(C'e^x+Ce^x)+Ce^x=(x-1)e^x
C''+2C'+C-2(C'+C)+C=(x-1)
C''=x-1,C'=x²/2-x，C=x³/6-x²/2，（求特解可以不考虑常数）；
通解y=（C1x+C2）e^x+（x³/6-x²/2）e^x
=(x³/6-x²/2+C1x+C2）e^x
x=1,y=1,y'=1
(1/6-1/2+C1+C2）e=1
y'=(x²/2-x+C1）e^x+(x³/6-x²/2+C1x+C2）e^x
(1/2-1+C1）e+(1/6-1/2+C1x+C2）e=1
1/2-1+C1=0,C1=1/2,
(1/6-1/2+1/2+C2）=1/e
C2=1/e-1/6
y=(x³/6-x²/2+C1x+C2）e^x
=(x³/6-x²/2+x/2+1/e-1/6）e^x

Answer 2

微分算子法，