Question

高数问题不会~

两道题~





Answer 1

设函数y=y(x)由方程2y³-2y²+2xy-x²=1所确定，试求y=y(x)的驻点，并判断它是否有极值点。
解：设F(x，y)=2y³-2y²+2xy-x²-1=0;
令dy/dx=y'=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(2y-2x)/(6y²-4y+2x)=(x-y)/(3y²-2y+x)=0，得 y=x.......①
将①代入原式得方程： 2x³-2x²+2x²-x²=2x³-x²=1
即有2x³-x²-1=x³-x²+x³-1=x²(x-1)+(x-1)(x²+x+1)=(x-1)(2x²+x+1)=0；
由此解得唯一驻点：x=1，y=1；
d²y/dx²=∂y'/∂x=[(3y²-2y+x)-(x-y)]/(3y²-2y+x)²=(3y²-y)/(3y²-2y+x)²∣(x=y=1)=2/2=1>0
故x=1，y=1是函数y=y(x)的极小点。

Answer 2

如图所示

Answer 3

两边对 x 求导， 得
6y^2y'-4yy'+2y+2xy' - 2x = 0
(3y^2-2y+x)y' = x - y
y' = (x-y)/(3y^2-2y+x) 驻点 x = y， 代入原式得
2x^3 - x^2 -1 = 0
(x-1)(2x^2+2x+1)= 0, 驻点 （1, 1）
(3y^2-2y+x)y' = x - y 两边再对 x 求导，
(6yy'-2y'+1)y' + (3y^2-2y+x)y'' = 1 - y'
在驻点（1, 1）， y' = 0 ， 2y'' = 1, y'' > 0
驻点（1, 1）是极小值点。