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首先确定周期函数的定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。
接下里讨论题主所列举函数:y=xcosx,由于没给定义域,默认为R
假设y=xcosx是周期函数,则存在T>0使得∀ x∈R,有
(x+T)cos(x+T)=xcosx
代入x=0得,TcosT=0,由于T不为0,则cosT=0,
代入x=T得,2Tcos2T=TcosT=0,则cos2T=0
但根据三角函数公式可知cos2T为2倍cosT的平方-1,求得为-1,矛盾!
故T不存在
以下附三角函数公式的推导:
cos2a
=cos(a+a)
=cosacosa-sinasina
=cosa^2-sina^2
=1-sina^2-sina^2
=1-2sina^2
=cosa^2-(1-cos^2)
=2cosa^2-1
接下里讨论题主所列举函数:y=xcosx,由于没给定义域,默认为R
假设y=xcosx是周期函数,则存在T>0使得∀ x∈R,有
(x+T)cos(x+T)=xcosx
代入x=0得,TcosT=0,由于T不为0,则cosT=0,
代入x=T得,2Tcos2T=TcosT=0,则cos2T=0
但根据三角函数公式可知cos2T为2倍cosT的平方-1,求得为-1,矛盾!
故T不存在
以下附三角函数公式的推导:
cos2a
=cos(a+a)
=cosacosa-sinasina
=cosa^2-sina^2
=1-sina^2-sina^2
=1-2sina^2
=cosa^2-(1-cos^2)
=2cosa^2-1
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第一道题把原函数分母的x代换进dx,就是dlnx,再化成d(2+lnx),令2+linx等于t。后面的有一点高数基础的话就会化了吧。。。第二题,分子化成2X×(1+X∧2)+3。把分子拆开,第一个就可以和分母约分了。第二个注意有一个公式,(1+X∧2)分之1是arctanx的导数。所以右边的式子可以化成定积分3d(arctanx)就等于3arctanx。不好意思,在床上没纸和笔,只好打字了。。相信你可以做出来的。。
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2019-10-10 · 知道合伙人教育行家
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不是周期函数。
不满足周期函数定义(需要验证)
不满足周期函数定义(需要验证)
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