Question

线性代数相似对角化问题

请问图中这个题怎么证明呢 24题

Answer 1

第一个用反证
若 k1α1+k2α2≠0 是A的属于特征值a的特征向量
则 A(k1α1+k2α2) = a(k1α1+k2α2), 且k1≠0 且 k2≠0.
所以有 k1Aα1+k2Aα2 = k1λ1α1+k2λ2α2 = ak1α1+ak2α2
所以 k1(λ1-a)α1+k2(λ2-a)α2 = 0
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 k1(λ1-a) = 0, k2(λ2-a)=0
进而有 λ1=λ2=a 与已知矛盾.

第二个是因为齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的解的线性组合仍是它的解.

Answer 2

24题解答的技巧在于用加边法计算矩阵的特征多项式。
解答如下：
|入E-A|=
1 b1 b2 … bn

0 入-a1b2 a1b2 … a1bn

0 a2b1 入-a2b2 … a2bn

………………………………
0 anb1 anb2 … anbn

=入^(n-1)(入-a1b1-a2b2-…-anbn
)
所以，矩阵的特征值为
入1=0 （n-1重）
入2=a1b1+a2b2+…+anbn

因为R(A)=1
所以Ax=0的基础解系中含有n-1个线性无关的解向量，即特征值入1=0有n-1个线性无关的特征向量。

再加上特征值入2的一个特征向量，故矩阵A有n个线性无关的特征向量，从而可以对角化。

Answer 3

A的秩为1，那么必有0是A的n-1重特征值，且对应n-1个无关的特征向量。
关键在剩下那个特征值怎么找。
|λE-A|
展开成多项式形式
很容易知道λ的n-1次系数等于-a1b1-a2b2-………-anbn。
所以A的所有特征值的和等于a1b1+a2b2+……+anbn。
而由于其它n-1个特征值都是0，所以它就是A的第n个特征值。
当然它的特征向量与那n-1个特征向量不相关。也就是存在n个不相关特征向量，A可以对角化。

追问

你好 给的答案迹为什么为k

追答

矩阵的迹，就等于主对角线的元素的和，

也就是a1b1+a2b2+……+anbn
矩阵的迹，就等于它所有特征值的和。
而这里，开始取的k值，就是等于a1b1+a2b2+……+anbn啊

追问

是不是因为秩为1 所以仅有一个k

追答

Ax＝λx，代入λ＝0
即Ax=0
A的秩为1，那么基础解系（也是A的特征向量）是n-1维的。
0是A的n-1重特征值。
非零特征值只有一个。